En sevdiğim sayı 7’dir. Güzel bir sayıdır ve en önemlisi bir asal sayıdır. Asal sayı, yalnızca 1’e ve kendisine bölünebilen pozitif bir tam sayıdır.

Asal sayıların hayatta çok farklı kullanımı mevcuttur. Telefonunuza cevap verdiğinizde, asal sayıları kullanırsınız. İnternetten bir şey satın aldığınızda, asal sayılar sizi hırsızlardan korur. İletişim güvenliği ve bilgi transferinde, bu sayılarla oluşturulan şifrelerden istifade edilir.

Asal sayılar eşit olarak daha küçük tamsayılara bölünemez. Bu durumda sayıların yarısını hemen masadan kaldırabiliriz. 2 hariç olmak üzere, çift sayılar asal olamaz. 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve benzeri sayıların bütün katları da asal olamaz. Bu noktada, “O zaman, çok az asal sayı mı var?” sorusu akla gelebilir. Aslında sonsuz sayıda asal sayı vardır. Şöyle ki: Sadece 2, 3, 5 ve 7’yi asal sayı olarak biliyoruz diyelim. Şimdi hepsini bir araya getirip 1 eklersek, 1 ve kendisi dışında sayılardan herhangi biri tarafından bölünemeyen yeni bir sayı olan 211’i elde ederiz. Yani, listemiz için yeni bir asal sayı bulmuş oluruz. Bu işlemi sonsuza dek yapmak muhtemeldir ve her zaman yeni bir asal sayı elde edilir. Bu yüzden, “En büyük asal sayı nedir?” sorusunun cevabı, “Bilmiyorum. Asal sayılar sonsuzdur” şeklindedir.

Varsayım: Bütün asal sayıları bulmak için kullanılabilecek bir formül yoktur.

Asal sayıları sırayla yazmaya başladığımızda, başlangıçta aralarındaki fark 2 olan bazı asal sayı çiftleri olduğunu görürüz. Bunlara “İkiz Asal Sayılar” diyoruz. Mesela: 3 ve 5, 5 ve 7, 11 ve 13, 17 ve 19, 29 ve 31.

Ancak devam ettikçe, bu ikiz asal sayıların daha az sıklıkta olduklarını fark ederiz. Bu konuda bir varsayım var: İkiz asal sayı varsayımı: Sonsuz asal sayı arasında, sonsuz ikiz asal sayı çifti vardır.

1 ve kendisi dışında böleni olmaması, asal sayıları bu kadar benzersiz kılan tek şey değildir. Sözgelimi, bir tam sayı doğrusu, sadece asal sayılar kullanılarak üretilebilir. Başka bir deyişle, asal sayıları birbiriyle çarparak diğer bütün tam sayıları bulmak mümkündür. Dolayısıyla, asal sayıların; sayı dizisinin atomları olduğunu ve diğer bütün tam sayıların asal sayılardan inşa edildiğini söyleyebiliriz.

Matematikçiler şu gerçeği göstermiştir: Herhangi bir tam sayı, sadece asal sayıların bir ürünü olarak ifade edilebilir. Matematikçiler buna asal çarpanlara ayırma teoremi diyorlar. Bu teori, aritmetiğin temel teoremi olan sayı teorisinden geliyor. Aritmetiğin temellerini anlamak, asal sayıların gizemlerini çözmenin ilk anahtarıdır.

Aritmetiğin Temel Teoremi: 1’den büyük her tamsayı ya bir asal sayının kendisidir ya da asal sayıların çarpımı olarak temsil edilebilir. Bu temsil, faktörlerin sırası hariç olmak üzere benzersizdir.

Mesela, 666 sayısını bulmak için şunu deneyin: 2 x 3 x 3 x 37.

Peki, 1.234.567.890 sayısını bulabilir miyiz? O kadar da zor değil: 2 x 3 x 3 x 5 x 3607 x 3803.

Temel olarak, herhangi bir sayıyı iki sayıya ayırıyoruz, sonra mümkünse bunları yine iki sayıya ayırıyoruz ve böylece devam ediyor. Yeni bir çarpana ayıramayınca, geriye kalan bütün sayılar asal sayı oluyor. Yani, sonunda geriye sadece asal sayılar kalıyor.

Peki, bilinen en büyük asal sayı nedir? Ocak 2018 itibariyle, bilinen en büyük asal sayı, 282.589.933–1, yani 24.862.048 basamaklı bir sayıdır.[1]

Dikkat edilirse, bu büyük asal sayıyı bulmanın tahmin edilemez olduğu fark edilebilir. Tahmin edilemez olmak, asal sayıları gizemli yapar. Normalde, özel sayılar rastgele oluşmamalıdır. Stanford’dan araştırmacılar, bir model bulmak maksadıyla, ilk 100 milyon asal sayıyı kontrol ettiler ve sonunda şu tespiti yaptılar: Asal sayılar, aynı rakamla biten diğer asal sayılardan tuhaf bir şekilde farklılık gösteriyordu.

Bu kadar zeki insanın, ömürlerini başka bir sayıya bölünemeyecek sayıları bulmaya harcamasının sebebi ne olabilir? Cevap “şifreleme” ile ilgili. Asal sayılar, şifreleme demektir. Bu sayılar iletişim için hayatîönem taşır. Çoğu modern bilgisayarın şifreleme sistemi, büyük sayıların asal çarpanlarını kullanarak çalışır.

  1. Dünya Savaşı’nda asal sayılar, şifreli iletişimde önemli bir rol oynadı. Alan Turing adlı İngiliz matematikçinin, Nazilerin kullandığı Enigma kodunu çözme çabasının anlatıldığı filmde bu gerçek işlenir. Bu savaşta hükümetler, şifreleme bilimini, bilhassa askerîmaksatlar için kullandı. Soğuk Savaş sırasında, ABD ve Rusya, bu tür şifreleri kullanarak, füze ve roket çalışmaları ve diğer askerîsırların öğrenilmesini engellemeye gayret etti.

Artık dijital bir çağda yaşıyoruz. Kötü niyetli insanların bilgilerimizi çalmasını önlememiz gerekiyor. Bu da asal sayılara daha fazla alaka göstermemiz ve sürekli yeni asal sayı bulmaya çalışmamız gerektiği anlamına geliyor.

Bir test sırasında 4 basamaklı bir sayı için asal çarpanlarına ayırma işlemini yapabilirsiniz, ama ya birisi size 600 veya 1000 basamaklı bir sayı verirse? Algoritmanız kesinlikle işe yaramayacaktır. Çünkü en gelişmiş süper bilgisayarlar bile “uzun süre” asal çarpanlara ayırma işlemi yapamaz. Burada söylemeye çalıştığımız “uzun süre” kâinatın yaşına eşittir!

Sözgelimi, şu ana kadar hiç kimse 617 basamaklı şu sayıyı bölen iki asal sayıyı bulamadı:

25.195.908.475.657.893.494.027.183.240.048.398.571.429.282.126.204.032.027.777.137.836.043.662.020.707.595.556.264.018.525.880.784.406.918.290.641.249.515.082.189.298.559.149.176.184.502.808.489.120.072.844.992.687.392.807.287.776.735.971.418.347.270.261.896.375.014.971.824.691.165.077.613.379.859.095.700.097.330.459.748.808.428.401.797.429.100.642.458.691.817.195.118.746.121.515.172.654.632.282.216.869.987.549.182.422.433.637.259.085.141.865.462.043.576.798.423.387.184.774.447.920.739.934.236.584.823.824.281.198.163.815.010.674.810.451.660.377.306.056.201.619.676.256.133.844.143.603.833.904.414.952.634.432.190.114.657.544.454.178.424.020.924.616.515.723.350.778.707.749.817.125.772.467.962.926.386.356.373.289.912.154.831.438.167.899.885.040.445.364.023.527.381.951.378.636.564.391.212.010.397.122.822.120.720.357

Başka bir örnek verelim: Kredi kartı numaranızı bir alışveriş sitesine gönderdiğinizde, bilgilerinizi gizli tutmak için asal sayılara bağlı olursunuz. Kredi kartı numaranızı kodlamak için, bilgisayarınız internet sitesinden herhangi bir sayı alır. Kodlanmış mesajın internet üzerinden gönderilebilmesi için bu sayıyı kullanarak bilgilerinizi şifreler. Daha sonra sunucudaki program, mesajın şifresini çözmek için bahsi geçen sayıyı bölen asal sayıları kullanır. Sayı, halka açık olmasına rağmen, bu sayıyı bölen asal sayılar, sırrı açığa çıkaran gizli anahtarlardır. Asal sayılar, siber güvenlik için kesinlikle gereklidir.

Asal sayılarla ilgili şaşırtıcı gerçeklerden biri de varlıklarının tabiatta nasıl hissedildiğidir.

Yaz aylarında ağustosböceklerinin senfonisi dikkat çeker. Bununla birlikte, Nashville’de yaşayanlar her yıl ağustosböceklerinin melodilerini dinleme fırsatına sahip değildir. En son 2011 yılında bu imkâna kavuştular. Nashville’in ormanları 13 veya 17 yıl sessiz kalacak. Evet, asal sayılar!

Araştırmalara göre, ağustosböcekleri ancak asal sayı olan yıllardan sonra yuvalarından çıkıp yumurtluyorlar. Yuvalarını sadece 7, 13 veya 17 yıl aralıklarla terk ediyorlar.  Ağustosböceklerine bir matematikçinin gözünden bakarsanız, farklı bir desenin ortaya çıkmaya başladığını göreceksiniz.

13 ve 17, kendisi ve 1 dışındaki sayılara bölünmez, bu da bu böceklere bir avantaj sağlar, çünkü asal sayılar, periyodik davranışlar sergileyen yırtıcılardan kaçınmaya yardımcı olur. Mesela, her 4 yılda bir, ormanda bir yırtıcı hayvan göründüğünü varsayalım. Bir ağustosböceği 6 yılda bir ortaya çıksaydı, her 12 yılda bir defa bu yırtıcıların saldırısına maruz kalacaktı, zira 4 ve 6’nın en küçük ortak katı 12’dir. Ancak bir ağustos böceği her 13 yılda bir ortaya çıkarsa, 52 (4 x 13) yılda sadece bir kez yırtıcılarla karşı karşıya kalır.

Mukaddir’in (celle celâluhu) takdir ettiği kanunlara dayanan matematik, sırlarla dolu bir dünya ve bu dünyada asal sayılara önemli roller verilmiş.

Kaynak: “Prime Numbers and Their Mysterious Role in Nature and Our Lives”, The Fountain, Sayı: 123, Mayıs-Haziran 2018.

Dipnot

[1]www.mersenne.org.