Karlı bir sabahta dışarı adım attığımızda, büyülenmiş gibi hissederiz. Kar taneleri uçsuz bucaksız gökyüzünde dönerek yere düşmekte ve her tarafı bir battaniye gibi kaplamaktadır. Bir kar tanesi üzerimize konduğunda, sanki bir melek inmiş gibi hissederiz. İki kar tanesinin birbirine benzemediğini fark etmişizdir. Kar taneleri, insanlar gibi biriciktir.
Kar taneleri birçok matematikçinin dikkatini çekmiştir. Bu hususta üç temel riyazî prensip bilhassa önemlidir: desen, simetri ve simetri kırılması.
“Kar Tanesi Adamı” lakaplı Wilson Bentley, binlerce kar tanesinin fotoğrafını çekti ve hayatı boyunca onları gözlemledi. Bentley hayretini şöyle ifade etmektedir: “Mikroskop altında, kar tanelerinin mucizevi tasarımlarını gördüm. Her kristal bir şaheserdi hiçbir tasarım tekrarlanmıyordu.”
Kar tanelerinin fotoğraflarını incelediğimizde ve her kar tanesinin inceliklerine odaklandığımızda, yapılarının tamamen farklı olduğunu göreceğiz. Bununla birlikte, ortak bir noktaları var: simetri ve altıgen bir yapı.
Bir kar tanesine yakından baktığımızda, kristallerin güzelliği her seferinde bizi büyüler. Matematikçilerin dikkatini çeken nokta ise, kar tanelerinin simetrisi ve altıgen yapılarıdır. Matematik âşıkları, dönüşümlere çok fazla ilgi duyar. Hareket eden nesneleri severler. Ancak bir nesne simetrik ise, dönüşümler neredeyse fark edilmez. Mesela altıgen simetrik bir kar tanesi veya başka bir simetrik nesneyi, herhangi bir yönde döndürdüğümüzde (sözgelimi 60°, 120°, 180°, 240°, 300° veya 360°), bir değişiklik fark edilmez. Aşağıdaki resimleri kontrol edersek, döndürülmüş şekiller görürüz, ancak aralarında bir fark gözükmemektedir.
Saat yönünün tersine 120° dönme.
Dikey bir eksen üzerinden yansıma.
Bir kar tanesinin yansıma eksenleri.[1]
Kar taneleri yansıma simetrisine sahiptir. Bir aynanın önünde, yansımamız tamamen kendimiz gibi görünür. Bir kar tanesinin ortasına bir ayna koyarsak, bir yansıma olacaktır. Kar taneleri için, bir aynayı altı farklı şekilde koyabiliriz. Böylece, bir kar tanesinin 12 simetriye sahip olduğunu söyleyebiliriz: altı yansımadan ve altı rotasyondan.[2]
Simetriyi, bir dönüşüm olduğunda, bir nesnenin desenin değişmemesi şeklinde tarif edebiliriz. Mesela bir kar tanesini arka arkaya iki ya da üç kez 60° döndürebilir ve ters çevirebiliriz, ama şekli değişmez.
Bu noktada şu soruyu sorabiliriz: “Her kar tanesi aynı simetriye mi sahiptir?”
Kar, buz kristalinin moleküler bir yapısıdır. Su soğuduğunda, moleküller daha yavaş hareket eder, bu da moleküllerin hizalanma şeklini etkilemeye başlar. Bir su molekülünün hidrojen atomları, iki oksijen atomuyla bağlanır. Su donarken moleküller altıgen desenler halinde düzenlenir. Moleküller, İlahî bir takdirle, birbirlerinden olabildiğince uzak durmaya meyleder ve bu da onların daha fazla yer kaplamasına sebep olur. Geniş alan yoğunluğu etkiler. Buzun yoğunluğu suyun yoğunluğundan daha azdır. Bu yüzden buz, suda batmaz.
Normal şartlarda bir buz kristalini incelediğimizde, her zaman altı kat simetrisi olan moleküllerin birleşimini görürüz. Kar tanesi molekülleri petek yapısına sahiptir.
Peki, mevcut şartları değiştirirsek ne olur? Johannes Kepler, yaptığı deneylerden sonra bu soruya cevap veriş ve kar taneleri hakkında bir kitap yazmıştır: Altı Köşeli Kar Tanesi.[3]
Bir kar tanesinin yapısını etkileyen iki temel unsur vardır: sıcaklık ve nem. Sıcaklık veya nem miktarı değiştiğinde, kar tanesinin yapısı da değişir. Aşağıdaki şemayı kontrol ettiğimizde, sıcaklık 0°’ye yaklaştığında ve nem yüksek olduğunda, bir kar tanesi yapısının çiçek şeklinde olduğunu görürüz. Çiçekli yapılara dendritler (kısa uzantılar) denir. Ortamı biraz daha soğuttuğumuzda, yapı altıgen plakalar şeklinde olacaktır. Birçok kombinasyon uygulayabilir ve farklı yapılar elde edebiliriz.
Japon fizikçi Ukichiro Nakaya, 1930’lu yıllarda laboratuvarında yaptığı deneylerle, aşağıdaki diyagramı hazırlamıştır:
Fizik profesörü Kenneth G. Libbrecht bir röportajında şunları söylemektedir: “Kar tanesi şekillerinin neden plakalardan sütunlara geçtiği bir gizem. Anlamaya çalıştığım şeylerden biri de bu. Yaklaşık 75 yıldır yapılan çalışmalara rağmen henüz çözülememiş bir sır.”[5]
Bütün kar taneleri altıgen değildir. Ağaç yapısında olan kar taneleri de mevcuttur. Bazı kar tanelerinin dalları ve her dalın küçük dalları vardır.
Kar taneleri havada dönmeyi asla durdurmaz. Sürekli salınım eğilimindedirler. Yani kar tanesinin şekli sürekli değişir, çünkü yer değiştirdikçe şartlar da farklılaşır. Bu süreç kar tanesi yere inene kadar devam eder. Şartlardaki farklılıklar, altıgen bir kar tanesinin her köşesini değiştirir ve farklı bir yapıya sebep olur. Kar tanesi yapıların çeşitliliğinin ve benzersizliğinin arkasındaki zahirî sebep budur.
Kaynak: “The Mathematical Beauty of Snowflakes”, Ali Kaya, The Fountain, Sayı: 127 (Ocak–Şubat 2019).
Dipnotlar
[1] web.stanford.edu/~cantwell/AA218_Course_Material/Lectures/Symmetry_Analysis_Chapter_01_Introduction_BJ_Cantwell.pdf
[2] www.geogebra.org/m/xBARcsuf
[3] Johannes Kepler, The Six-Cornered Snowflake, Philadelphia: Paul Dry Books, 2010.
