2018 yılında, Patrick Laroche önderliğinde bir grup bilim insanı tarafından keşfedilen dünyanın en büyük asal sayısı, büyük bir ilgi uyandırdı. Tam 24.862.048 haneye sahip bu sayının büyüklüğünü anlayabilmek için şu misali verebiliriz: Eğer bu sayıyı A4 kâğıtlara, standart büyüklükte puntolarla arkalı önlü bastırsaydık, kullanacağımız kağıtların yüksekliği 83 cm’yi bulacaktı. Peki, bilim insanları niçin bu sayıyı bulmak için bu kadar gayret göstermiş ve böyle bir buluş pek çok ödül almıştır? Bu sorular bizi matematiğin gizemli dünyasında bir yolculuğa çıkarır.
Asal Sayıların Tarihçesi
“Asal sayılar”, kendisine ve bire tam olarak bölünebilen pozitif sayılara verilen isimdir. 2,3,5,7 ile başlayan ve düzensiz bir şekilde karşımıza çıkan bu sayılar, geçmişten günümüze dikkatleri üzerine çekmiş ve yüz yıllarca farklı bilim insanları bu sayıları ortaya koyabilecek bir formül bulmaya çalışmışlardır. Elimizdeki kaynaklar, bu konuda en eski çalışmanın, antik Yunan’da Eratosthenes (M. Ö. 276–195) ve onun meşhur eleği ile başladığını söyler. Sistematik olarak asal olmayan sayıları eleyerek kalan sayıları asal sayı olarak niteleyen Eratosthenes’in Eleği, büyük sayılar için kullanımı çok zor bir sistemdir. Buna mukabil Fransız bilim adamı Marin Mersenne (1588–1648) tarafından ortaya konan ve 2^n-1 (n doğal sayı) şeklinde formüle edilen Mersenne Teoremi, pek çok asal sayıyı bulmamızı sağlar. Daha sonra 2047 (211 – 1) sayısının asal olmadığı ortaya çıksa da bu formüle uyan bütün asal sayılara “Mersenne asal sayıları” denilmiştir. 2018 yılında bulunan en büyük asal sayı da bu kurala uyan bir Mersenne asal sayısıdır. Bu alanda çalışan Pierre de Fermat (1607–1665) ise Mersenne’nin yaklaşımına benzer bir yaklaşımla 2^(2^m )+1 (m doğal sayı) formülünün bize asal sayıları vereceğini söylemiş, ama istisnaların ortaya çıkması, bu formülün her zaman geçerli olmayacağını göstermiştir. Bu tip asal sayılara Fermat sayısı denmiş ve Mersenne sayılarından daha iyi bir sonuç vermiştir.
Günümüz itibari ile bütün asal sayıları verebilecek bir formülün olamayacağı fikri matematik dünyasında kabul görmüştür. Dolayısıyla çalışmalar herhangi bir sayının asal olup olmadığını belirleme üzerine yoğunlaşmıştır. Araştırmacılar; Fermat Testi, Miller-Rabin Testi, AKS Asal Sayılar Testi ve Lucas-Lehmer Testi gibi testler geliştirerek sözü edilen çok büyük sayıların asal olup olmadığını belirleme üzerine çalışmalarını odaklamışlardır.
Asal sayılara ek olarak, matematik dünyasında sık kullanılan önemli bir tabir de “aralarında asal” sayılardır. Mesela 21 ve 10 sayılarının ikisi de asal sayı değildir, ama birbirine göre asal sayılardır, çünkü iki sayının bir tane ortak böleni vardır; o da 1’dir. Dolayısıyla pek çok sayı, asal olmamasına rağmen başka bir sayı ile kullanıldığında aralarında asal olabilir.
Asal Sayılar ve Şifreleme
Farkına varmasak da asal sayıları her gün kullanırız. Bu konuda fizikten mühendisliğe, kodlamadan farklı teknolojik uygulamalara kadar pek çok sahada örnek vermek mümkündür. Asal sayıların kullanıldığı alanlardan biri de kriptografi, yani şifreleme bilimidir. Yunanca “kryptos” (gizli) ve “graphein” (yazı) kelimelerinin birleşiminden oluşan bu terim, gizli haberleşmenin bir bilim olarak ele alınmasına işaret eder. Bu konudaki ilk uygulamalardan biri Sezar şifreleme diskidir.
Simetrik şifrelemenin kullanıldığı Sezar diskinde, harfler bir rakama çevrilir:
A=0, B=1, C=2 … Z=29
Daha sonra gönderilmek istenen mesaj kodlanır:
S E L A M
21 5 14 0 15
Sonra bir “anahtar” yardımı ile (mesela her sayıya beş eklenerek) gönderilecek mesaj şifrelenir ve gönderilir:
26 10 19 5 20
Bu mesajı alan, modüler aritmetiğin kuralları çerçevesinde, anahtarı kullanarak (burada sayılardan beş çıkararak) mesajın şifresini çözer. Buradaki asıl mesele, anahtarın karşı tarafa güvenli bir şekilde iletilmesidir. Bu problemi gören Alman bilim adamları, II. Dünya Savaşında anahtarın her gün değiştirildiği Enigma sistemini kullanmışlardır. Matematikçi ve mantıkçı Alan Turing’in (1912–1954) geliştirdiği makineler yardımıyla İngilizler, her gün değişen anahtara rağmen Enigma makinesinin şifreli mesajlarını çözmüş ve bu sayede savaşın gidişatını değiştirmişlerdir.
Almanların Enigma şifreleme makinesi.
Simetrik şifrelemedeki güvenlik problemini çözmede asal sayılar imdadımıza yetişir. Herhangi bir anahtar kullanmadan, “asimetrik şifreleme” dediğimiz metotla alıcı ve verici arasında iletişim kurulur. 1977 yılında Ronald Rivest, Adi Shamir ve Leonard Adleman tarafından geliştirilen ve bu üç bilim adamının soy isimlerinin ilk harflerinden oluşan RSA şifreleme metodunda, iki asal sayı ve bu sayıların çarpımı kullanılarak elde edilecek üçüncü bir sayı ile alıcı ve verici arasında iletişim gerçekleşir. Bu sayılardan ilkine “açık anahtar” denir ve herkes tarafından bilinir. İkinci asal sayı ise her kullanıcının sahip olduğu “özel anahtar” denilen asal sayıdır. Üçüncü sayı, asal olmayabilir, ama ilk iki sayının çarpımına bağlı bir asal sayıdır. Sistem, özel işlemler yaparak bu asal sayıları eşleştirir ve böylece kilit çözülmüş olur. Bir örnek verecek olursak: Bir para çekme makinesine banka kartınızı soktuğunuzda, o bankanın zaten bilinen bir açık anahtarı (asal sayısı) vardır ve kartınız bu bilgiyi makine ile paylaşır. Daha sonra sistem, bankanızla gizli iletişimi gerçekleştirmek için sizden pin kodunuzu yazmanızı ister ki bu sayının bir asal sayı olması zorunlu değildir. Pin kodunuzu doğru yazdığınızda, arka planda gerçekleşen bazı özel işlemlerden sonra, özel anahtara ulaşan sistem, hesabınızda işlem yapmanıza izin verir. Bu işleyiş, güvenliği sağlamak için kompleks algoritmalar yardımıyla gerçekleşir. Hangi algoritma kullanılırsa kullanılsın, bütün şifreleme ve şifrenin çözülmesi işlemleri asal sayılar kullanılarak yapılmış olur. Asal sayılar ne kadar büyük seçilirse şifreleri kırmak o kadar zorlaşır.
Görüldüğü üzere, çoğu zaman farkında olmadan, günlük hayatımızda asal sayılardan istifade ediyoruz. Asal sayıların henüz keşfedilmemiş hikmetleri ve yeni uygulama alanları da olabilir. Bugün araştırmacılara düşen görev, bu tür gizli hikmetleri insanlık için ortaya çıkarmak, marifetullah ve muhabbetulaha hizmet etmektir.
Dipnotlar
